Question

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．

 （1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；

 （2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；

 （3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长.

 

                                                                                                                    

Answer 1

 (1)DE=2CE………………………1分

   (2)证明：过点B作BM⊥DC于M

           ∵BD=BC，

∴DM=CM, ………………………..2分

∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM=∠DBC=60°

           ∴∠MCB=30°    BM=BC

           ∵BC=2AC，

           ∴BM=AC.

           ∵∠ACB=120°,

           ∴∠ACE=90°.

           ∴∠BME=∠ACE

           ∵∠MEB=∠AEC

           ∴△EMB≌△ECA

           ∴ME=CE=CM ………………………3分

           ∴DE=3EC ………………………………4分

    (3) 过点B作BM⊥DC于M，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N.

       ∵∠DBF=120°, ∴∠FBN=60°. ∴FN=BF,BN=BF ……5分

     ∵DB=BC=2BF, DN=DB+BN=BF

     ∴DF=BF

     ∵AC=BC,BF=BC

     ∴AC=BF

     ∵∠DBC=∠ACB

     ∴△DBF≌BCA

     ∴∠BDF=∠CBA.

     ∵∠BFG=∠DFB,

     ∴△FBG∽△FDB

     ∴

     ∴,∴BF

    ∴DG=BF,BG=BF

     ∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，

     ∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH.

     ∵∠BGF=∠DGA,

     ∴△BGF∽△DGH.

     ∴.

     ∴GH=BF.

     ∵BH=BG+GH=BF=10,

     ∴BF=.  …………………………….6分

     ∴BC=2BF=4  ,CM=

     ∴CD=2CM=.

     ∵DE=3EC

     ∴EC=CD=  ……………………………..7分