Question

如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．△ABC与△DEF重叠部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=

1

2

BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH=

3

3

PF=2

3

；在Rt△CPM中计算出PM=

3

3

PC=2

3

，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2

3

，则在Rt△FMN中可计算出MN=

1

2

FM=3-

3

，FN=

3

MN=3

3

-3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF重叠部分的面积=S_△FPH-S_△FMN进行计算即可．

解答：解：如图，
∵点P为斜边BC的中点，
∴PB=PC=

1

2

BC=6，
∵△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，
∴PH=

3

3

PF=

3

3

×6=2

3

，
在Rt△CPM中，∵∠C=30°，
∴PM=

3

3

PC=

3

3

×6=2

3

，∠PMC=60°，
∴∠FMN=∠PMC=60°，
∴∠FNM=90°，
而FM=PF-PM=6-2

3

，
在Rt△FMN中，∵∠F=30°，
∴MN=

1

2

FM=3-

3

，
∴FN=

3

MN=3

3

-3，
∴△ABC与△DEF重叠部分的面积=S_△FPH-S_△FMN
=

1

2

×6×2

3

-

1

2

（3-

3

）（3

3

-3）
=9（cm²）．
故答案为9．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．