Question

10．如图1，抛物线y=ax²-4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）填空：A点坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0）；
（2）当a=1时，如图1，将直线BC沿y轴向上平移交抛物线于M，N，交y轴于点P，求证：PM-PN是定值；
（3）当a=$\frac{1}{4}$时，如图2，直线y=kx-3k+4与抛物线交于E，F两点，求△BEF的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0得ax²-4ax+3a=0，解方程即可．
（2）如图1中，作NF⊥y轴由F，ME⊥y轴于E．首先证明△NPF，△MEP是等腰直角三角形，可得PN=$\sqrt{2}$NF，PM=$\sqrt{2}$EM，设N（x₁，y₁），M（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+k}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，消去y得x²-3x+3-k=0，可得x₁+x₂=3，推出PM-PN=$\sqrt{2}$（EM-FN）=$\sqrt{2}$[x₂-（-x₁）]=$\sqrt{2}$（x₁+x₂）=3$\sqrt{2}$，由此即可证明．
（3）如图2中，过点B作BM⊥AB交EF于M．由题意可得M（3，4），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+\frac{3}{4}}\\{y=kx-3k+4}\end{array}\right.$，消去y得x²-（4+4k）x+12k-13=0，可得x₁+x₂=4+4k，x₁x₂=12k-13，根据S_△EFB=$\frac{1}{2}$•BM•（x₂-3）（3-x₁）计算即可解决问题．

解答 （1）解：对于抛物线y=ax²-4ax+3a，
令y=0得ax²-4ax+3a=0，
∵a＞0，a≠0，
∴x²-4x+3=0，
解得x=1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
故答案为（1，0），（3，0）．

（2）证明：如图1中，作NF⊥y轴由F，ME⊥y轴于E．

a=1时，抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
∴C（0，3），∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，设直线BC平移后的解析式为y=-x+k，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵MN∥CB，
∴∠MPE=∠BCO=45°=∠NPF，
∴△NPF，△MEP是等腰直角三角形，
∴PN=$\sqrt{2}$NF，PM=$\sqrt{2}$EM，设N（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+k}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，消去y得x²-3x+3-k=0，
∴x₁+x₂=3，
∵PM-PN=$\sqrt{2}$（EM-FN）=$\sqrt{2}$[x₂-（-x₁）]=$\sqrt{2}$（x₁+x₂）=3$\sqrt{2}$．
∴PM-PN是定值．

（3）解：如图2中，过点B作BM⊥AB交EF于M．

∵a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x+$\frac{3}{4}$，
∵B（3，0），
∴M（3，4），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+\frac{3}{4}}\\{y=kx-3k+4}\end{array}\right.$，消去y得x²-（4+4k）x+12k-13=0，
∴x₁+x₂=4+4k，x₁x₂=12k-13，
∵S_△EFB=$\frac{1}{2}$•BM•（x₂-3）（3-x₁）=2（3x₂-x₁x₂-9+3x₁）=2[3（x₁+x₂）-x₁x₂-9]=32．
∴△EFB的面积为定值32，
∴△DEF的面积的最小值为32．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．