【题目】如图1,在平面直角坐标系中,等边△ABC的边BC在x轴上,A(0,3),B(,0),点M(,0)为x轴上的一个动点,连接AM,将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN.
(1)当M点在B点的左方时,连接CN,求证:△BAM≌△CAN;
(2)如图2,当M点在边BC上时,过点N作ND//AC交x轴于点D,连接MN,若,试求D点的坐标;
(3)如图3,是否存在点M,使得点N恰好在抛物线上,如果存在,请求出m的值,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)D(,0);(3)存在,或
【解析】
(1)根据等边三角形的性质、旋转的性质、角的和差可得、、,再根据全等三角形的判定即可得证结论;
(2)过作轴于点,过作交延长线于点,可得出是等边三角形,再结合已知条件根据等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等可列出关于的方程,解得即可求得答案;
(3)由(2)可知点的坐标为,将点的坐标代入抛物线解析式解方程即可得解.
解:(1)证明:∵是等边三角形
∴,
∵将绕点逆时针旋转得到
∴ ,
∴
∴
∴在和中
∴.
(2)过作轴于点,过作交延长线于点,如图:
∵由(1)可知
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等边三角形
∴
∵是等边三角形,,,
∴,,
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴.
(3)由(2)可知点的坐标为
∵若点恰好在抛物线上
∴
∴或
∴存在点,使得点恰好在抛物线上,此时或.
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【题目】如图,⊙O中,AB是⊙O的直径,G为弦AE的中点,连接OG并延长交⊙O于点D,连接BD交AE于点F,延长AE至点C,使得FC=BC,连接BC.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)⊙O的半径为5,tanA=,求FD的长.
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【题目】某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
时间x(天) | 1≤x<9 | 9≤x<15 | x≥15 |
售价(元/斤) | 第1次降价后的价格 | 第2次降价后的价格 | |
销量(斤) | 80﹣3x | 120﹣x | |
储存和损耗费用(元) | 40+3x | 3x2﹣64x+400 |
(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D.延长CA交⊙O于点E,BH是⊙O的切线,作CH⊥BH.垂足为H.
(1)求证:BE=BH;
(2)若AB=5,tan∠CBE=2,求BE的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=2,M为CD的中点,N为BC的中点,连接AM和DN交于点E,连接BE,作AH⊥BE于点H,延长AH与DN交于点F.连接BF并延长与CD交于点G,则MG的长度为__________.
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【题目】(9分)在如图的方格中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(﹣2,﹣1)、B(﹣1,﹣3),△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比;
(2)以原点O为位似中心,在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2,使它与△OAB的位似比为2:1,并写出点B的对应点B2的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M(a,b)是△OAB边上一点(不与顶点重合),写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线 分别为x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,m)是y轴上一个动点,若以点P为圆心的圆P与x轴和直线l都相切,则m的值是_______.
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在同一条公路上,匀速行驶,相向而行,到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后,因故停车0.5小时,故障解除后,继续以原速向B地行驶,两车之间的路程y(千米)与出发后所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示.
(1)求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲车没有故障停车,求可以提前多长时间两车相遇.
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【题目】今年疫情防控期间.某小区卫生所决定购买A,B两种口罩.以满足小区居民的需要.若购买A种口罩9包,B种口罩4包,则需要700元;若购买A种口罩3包.B种口罩5包.则需要380元.
(1)购买人A,B两种口罩每包各需名少元?
(2)卫生所准备购进这两种口罩共90包,并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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