Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F．连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

要求MG的长度，需要先求出CG的长，过F作PQ‖BC，连接MF，设出MQ，根据三角形相似分别表示出AP，PF，QF的长，根据勾股定理求出MQ的长，再根据△FGQ△BGC求出CG的长即可求MG的长．

如图：

过点F作PQ平行于BC，分别交AB，DC于点P，点Q，连接MF；

∴∠APF=∠MQF=90°，

设MQ=x，则QD=x+1=AP，

∵在正方形ABCD中，AB=2，M为CD的中点，N为BC的中点，

∴MD=NC=AB=1,

又AD=CD,

∴△AMD△DNC,

∴∠NDC=∠DAM,

∴∠DEM=90°，

又∠MDE=∠FDQ，

∴△DEM△FDQ，

∴ ,

又∵∠DEM=90°，∠MDE=∠NDC,

∴△DEM△DNC，

∴，

∴DE=2ME，

∵DM=1，由勾股定理可得：ME=，DE= ，代入，

∴DQ=2QF，

∴QF=，

∴PF=2-QF= 2-=，

在Rt△AMD中，AD=2，DM=1，

∴AM=，

∴，

∵，

∴=，

整理得：，

解得：x=，x=-1（舍去），

又∠FGQ=∠BGC，∠C=∠C，

∴△FGQ△BGC，

∴即，

∵QC=CD-DQ=1-x，

∴，

解得：GC=，

∴MG=MC-GC=1-=，

故答案为：．