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解答问题:

1)如图2,⊙O的半径为2,点ABC在⊙O上,OAOB,∠AOC60°POB上一动点,求PA+PC的最小值;

2)如图3,已知菱形ABCD的边长为6,∠DAB60°.将此菱形放置于平面直角坐标系中,各顶点恰好在坐标轴上.现有一动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度,沿AC的方向,向点C运动.当到达点C后,立即以相同的速度返回,返回途中,当运动到x轴上某一点M时,立即以每秒1个单位的速度,沿MB的方向,向点B运动.当到达点B时,整个运动停止.

①为使点P能在最短的时间内到达点B处,则点M的位置应如何确定?

②在①的条件下,设点P的运动时间为ts),PAB的面积为S,在整个运动过程中,试求St之间的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.

【答案】1PA+PC的最小值是2;(2)①点M的位置是(0)时,用时最少;②St之间的函数关系式是当3t≤4时,S183t;当0t≤3时,S3t.当4t≤6时,S=﹣3t+18

【解析】

1)延长AO交圆OM,连接CMOBP,连接ACAP+PCPC+PMCM最小;

2)①根据运动速度不同以及运动距离,得出当PBAB时,点P能在最短的时间内到达点B处;

②根据三角形的面积公式求出从AC时,st的关系式和从C到(0)以及到B的解析式.

解:(1)延长AO交圆OM,连接CMOBP,连接AC

则此时AP+PCPC+PMCM最小,

AM是直径,∠AOC60°

∴∠ACM90°,∠AMC30°

ACAM2AM4,由勾股定理得:CM2

答:PA+PC的最小值是2

2)①根据动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度,沿AC的方向,向点C运动.当到达点C后,立即以相同的速度返回,返回途中,当运动到x轴上某一点M时,立即以每秒1个单位的速度,沿MB的方向,向点B运动,即为使点P能在最短的时间内到达点B处,

∴当PBAB时,根据垂线段最短得出此时符合题意,

∵菱形ABCDAB6,∠DAB60°

∴∠BAO30°ABADACBD

∴△ABD是等边三角形,

BD6BO3,由勾股定理得:AO3

RtAPB中,AB6,∠BAP30°BPAP,由勾股定理得:AP4BP2

∴点M的位置是(0)时,用时最少.

②当0t≤3时,AP2t

∵菱形ABCD

∴∠OAB30°

OBAB3

由勾股定理得:AOCO3

SAP×BO×2t×33t

③当3t≤4时,AP6﹣(2t6)=122t

SAP×BO×122t×3183t

4t≤6时,

SAB×BP×6×[2﹣(t4]=﹣3t+18

答:St之间的函数关系式是当3t≤4时,S183t;当0t≤3时,S3t.当4t≤6时,S=﹣3t+18

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6

5

4

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人数

2

1

4

7

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2

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