Question

如图，利用一面墙（墙长为15m）和30m长的篱笆来围矩形场地，若设垂直墙的一边长为x（m），围成的矩形场地的面积为y（m²）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）怎样围成一个面积为112m²的矩形场地？
（3）若要围成一个面积最大的矩形场地，则矩形场地的长和宽各应是多少？

Answer 1

解：（1）∵AD=BC=x，∴AB=30-2x，
由题意得y=x（30-2x），
=-2x²+30x（0＜x＜15）；

（2）当y=112时得：-2x²+30x=112，
解得：x₁=7，x₂=8，
当x=7时，AD=BC=7m，AB=30-2×7=16m（大于围墙的长度，舍去）
当x=8时，AD=BC=8m，AB=30-2×8=14m，（符合题意）．
∴当平行于墙面的边长为14m，邻边长为8m时，可以围成面积为112m²的矩形场地．

（3）y=-2x²+30x=-2（x-）2+，
∴当x=m时，围成的面积最大，此时矩形的长为，宽为15．
分析：（1）表示出矩形的长和款可得出y和x的函数关系式，根据每条边长大于零可得出自变量的范围．
（2）将y=112代入（1）所得的关系式，然后解出x的值后判断，即可得出答案．
（3）利用配方法求二次函数的最值可得出答案，注意自变量的范围．
点评：此题考查了二次函数的应用，不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过30米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程．