Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．
（1）求证：BD=AE；
（2）若AB=2，BC=3，求BD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；
（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．

解答：（1）证明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴DC=AC，∠DCA=60°；
又∵△BCE是等边三角形，
∴CB=CE，∠BCE=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，
即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△EAC中，

DC=AC ∠DCB=∠ACE CB=CE

，
∴△BDC≌△EAC（SAS），
∴BD=AE；

（2）解：∵△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3，∠CBE=60°．
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

22+32

=

13

，
∴BD=AE=

13

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．