Question

已知，如图，抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A的坐标为（-4，0），对称轴是x=-1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的动点，过点M作MN∥AC，分别交y轴、BC于点P、N，连接CM．当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，求

S△CPN

S△ABC

的值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A的坐标为（-4，0），对称轴是x=-1，利用待定系数法求解即可求得二次函数的解析式；
（2）由（1）即可求得点B的坐标，则可求得AB与BM的长，又由MN∥AC，即可证得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得NE的长，S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM，求得S_△CMN=-

1

3

(m+1)2+3，则可求得△CMN的面积最大时，点M的坐标；
（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），则可证得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的长，又由MN∥AC，证得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面积，然后由S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM求得△CPN的面积，又由S_△ABC=

1

2

AB•OC=12，求其比值即可求得答案．

解答：解：（1）由题意，得

16a-4b+4=0 - b 2a =-1

，
解得

a=- 1 2 b=-1

，
∴所求抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2-x+4．

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NE⊥x轴于点E．
由-

1

2

x2-x+4=0，得x₁=-4，x₂=2．
∴点B的坐标为（2，0）．
∴AB=6，BM=2-m．
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC．
∴

NE

CO

=

BM

BA

，
即

NE

4

=

2-m

6

．
∴NE=

4-2m

3

．
∴S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM=

1

2

BM•CO-

1

2

BM•NE=

1

2

(2-m)(4-

4-2m

3

)=-

1

3

m2-

2

3

m+

8

3

=-

1

3

(m+1)2+3．
又∵-4≤m≤2，
∴当m=-1时，S_△CMN有最大值3，此时M（-1，0）．

（3）∵A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=4

2

，
∵MN∥AC，
∴∠PMO=∠CAO=45°，
∴△MOP是等腰直角三角形，
∴点P的坐标为（0，1），
∴CP=3，
∴S_△CPM=

1

2

CP•MO=

3

2

，
∴S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM=3-

3

2

=

3

2

，
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=12，
∴

S△CPN

S△ABC

=

1

8

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及三角形面积的求解方法等知识．题目综合性很强，解题时注意数形结合思想的应用．