Question

已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=

a2+4

+

b2+1

的最小值．

Answer 1

分析：将b=2-a代入W=

a2+4

+

b2+1

，得到W的关于a的表达式，再利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和，利用勾股定理求和即可．

解答：解：得W=

a2+22

+

(2-a)2+12

，（5分）
构造如下图形，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
P是ED上任意一点，点C是点A关于直线l的对称点，
设PE=a，则W=

a2+22

+

(2-a)2+12

=AP+BP，（5分）
当B、P、C三点共线时，W的值最小，此时由勾股定理可求得

a2+4

+

b2+1

的最小值为

13

．（5分）

点评：此题考查了轴对称---最短路径问题，将表达式转化为勾股定理，体现了数形结合在解题中的作用．