在平面直角坐标系中.我们把关于原点对称的两条抛物线叫做“哥俩好抛物线．(1)抛物线y=x2+3x-4的顶点坐标为(-$\frac{3}{2}$.-$\frac{25}{4}$)..其“哥俩好抛物线的解析式为y=-x2+3x+4,(2)如图.已知抛物线y=x2+mx-4与y轴交于点A.其“哥俩好抛物线与y轴交于点B.两抛物线相交于点C和D.连接AC.CB.BD.DA．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

在平面直角坐标系中，我们把关于原点对称的两条抛物线叫做“哥俩好”抛物线．
（1）抛物线y=x²+3x-4的顶点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），，其“哥俩好”抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；
（2）如图，已知抛物线y=x²+mx-4（m＞0）与y轴交于点A，其“哥俩好”抛物线与y轴交于点B，两抛物线相交于点C和D，连接AC，CB，BD，DA．
①当m为何值时，四边形ACBD为矩形；
②当m的值发生改变时，四边形ACBD的面积是否发生变化？如果不变，请求出这个面积；如果变化，请说明理由．

分析（1）先将抛物线写成顶点式，再根据“哥俩好”抛物线的定义即可的胡函数解析式；
（2）先确定出抛物线y=x²+mx-4的“哥俩好”抛物线的解析式，进而得出点A，B，C，D坐标，即可得出CD，AB，
①用矩形的性质建立方程即可求出m的值；
②根据四边形的面积公式即可建立方程求解即可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线y=x²+3x-4=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
∴顶点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），
根据“哥俩好”抛物线的定义知，抛物线y=x²+3x-4的“哥俩好”抛物线的解析式为y=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$=-x²+3x+4，
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），y=-x²+3x+4，
（2）∵抛物线y=x²+mx-4=（x-$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}+16}{4}$①，
∴此抛物线的“哥俩好”抛物线解析式为y=-（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}+16}{4}$②，
∴B（0，$\frac{{m}^{2}+16}{4}$），A（0，-$\frac{{m}^{2}+16}{4}$），
联立①②得，C（-2，-2m），D（2，2m），
∴AB=$\frac{{m}^{2}+16}{2}$，CD=$\sqrt{16+16{m}^{2}}$，
①∵四边形ACBD为矩形，
∴AB=CD，
∴$\frac{{m}^{2}+16}{2}$=$\sqrt{16+16{m}^{2}}$，
∴m=±2$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{2}$，
②当m的值发生改变时，四边形ACBD的面积是会发生变化，
理由：根据“哥俩好”抛物线的定义，得出四边形ACBD是平行四边形，
∴S_{四边形ACBD}=2S_△ABD=AB×|x_D|=$\frac{{m}^{2}+16}{2}$×2=m²+16，

点评此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，顶点坐标公式，矩形的性质，平行四边形的性质，四边形的面积公式，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题．

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