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    （2013•历下区一模）如图，设直线l2：y=-2x+8与x轴相交于点N，与直线l1相交于点E（1，a），双曲线y=
    k
    x
    （x＞0）经过点E，且与直线l1相交于另一点F（9，
    2
    3
    ）．
    （1）求双曲线解析式及直线l1的解析式；
    （2）点P在直线l1上，过点F向y轴作垂线，垂足为点B，交直线l2于点H，过点P向x轴作垂线，垂足为点D，与FB交于点C．
    ①请直接写出当线段PH与线段PN的差最大时点P的坐标；
    ②当以P、B、C三点为顶点的三角形与△AMO相似时，求点P的坐标．
    分析：（1）把点F的坐标代入反比例函数解析式求得k的值；然后把点E的坐标代入双曲线解析式可以求得a的值；然后根据点E、F的坐标来求直线l1的解析式；
    （2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大；
    ②需要分类讨论：△PBC∽△AMO和△PBC∽△MAO两种情况，由相似三角形的对应边成比例可以求得点P的坐标．
    解答：解：（1）∵双曲线y=
    k
    x
    （x＞0）经过点E（1，a）和点F（9，
    2
    3
    ），
    ∴
    a=k
    2
    3
    =
    k
    9
    ，
    解得
    a=6
    k=6
    ，
    ∴双曲线的解析为：y=
    6
    x
    ，点E（1，6）．
    设直线l1的解析式为y=kx+b（k≠0）．
    把点E、F的坐标分别代入，得
    k+b=6
    9k+b=
    2
    3
    ，
    解得
    k=-
    2
    3
    b=
    20
    3
    ，
    则直线l1的解析式为y=-
    2
    3
    x+
    20
    3
    ；
    综上所述，双曲线解析式及直线l1的解析式分别是：y=
    6
    x
    和y=-
    2
    3
    x+
    20
    3
    ；

    （2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大，此时，点P与点E重合，即P（1，6）；
    ②设P（x，y）（x＞0）．
    ∵直线l1的解析式为y=-
    2
    3
    x+
    20
    3
    ，
    ∴AO=
    20
    3
    ，OM=10，
    ∴如图，在直角△AOM中，由勾股定理得到：AM=
    		OA2+OM2
    =
    		(
    20
    3
    )2+102
    =
    10
    		13
    3
    ．
    易求PC=-
    2
    3
    x+
    18
    3
    ．
    i）当△PBC∽△AMO时，
    BC
    MO
    =
    PC
    AO
    ，即
    x
    10
    =
    -
    2
    3
    x+
    18
    3
    20
    3
    ，解得x=
    9
    2
    ，则y=-
    2
    3
    ×
    9
    2
    +
    20
    3
    =
    11
    3
    ，故P（
    9
    2
    ，
    11
    3
    ）；
    ii）当△PBC∽△MAO时，
    BC
    AO
    =
    PC
    MO
    ，即
    x
    20
    3
    =
    -
    2
    3
    x+
    18
    3
    10
    ，解得x=
    36
    13
    ，则y=-
    2
    3
    ×
    36
    13
    +
    20
    3
    =
    188
    39
    ，故P（
    36
    13
    ，
    188
    39
    ）．
    综上所述，符合条件的点P的坐标是P（
    9
    2
    ，
    11
    3
    ）或（
    36
    13
    ，
    188
    39
    ）．
    点评：本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的性质．注意，解（2）题时，没有明确相似三角形的对应角（边），一定要分类讨论，考虑到所有的情况，不要漏解．
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