Question

如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD=∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，若tan∠AEF=，AD=4，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴2∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AD为⊙O直径的，
∴直线BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接DF，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=∠CD+∠FDC=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF=，
∴tan∠C=tan∠ADF=，
在Rt△ACD中，设AD=4x，则CD=3x，
∴AC==5x，
∴BC=5x，BD=2x，
∵AD=4，
∴x=1，
∴BD=2．
分析：（1）由AC=BC，利用等边对等角得到一对角相等，三角形ABC，利用内角和定理列出关系式，等量代换得到∠B+∠C=90°，再将已知等式代入得到∠B与∠BAD互余，进而确定出AD垂直于BC，即可确定出BC为圆的切线；
（2）连接DF，由AD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到DF垂直于AC，再由AD垂直于DC，利用同角的余角相等得到∠ADF=∠C，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF，由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值，即为tan∠C的值，在直角三角形ADC中，由tan∠C的值设出AD=4x与DC=3x，再由AC=BC，根据BC-CD表示出BD，再由AD的长，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．
点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．