Question

已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）S_△EFC=

1

2

FC•高h，S_△ABF=

1

2

BF•高h′，而△EFC与△ABF的面积相等且当F为BC的中点，所以必须证明h=h′，而h=ABsinα，
h′=EBsinα，所以证明方向转化为求证EB=AB，而EB=CD，可利用证△EBF≌△DCF来解答，因此便可求证所求；
（2）由于△ABC和△CDE为等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因为△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．

解答：（1）证明：∵点F为BC的中点，
∴BF=CF=

1

2

BC=

a

2

，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB=b，
∴A，E两点到BC的距离相等，都为bsinα，（3分）
则S_△ABF=

1

2

•

a

2

•bsinα=

1

4

absinα，
S_△EFC=

1

2

•

a

2

•bsinα=

1

4

absinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；（5分）

（2）解：
法一：当F为BC上任意一点时，
设BF=x，则FC=a-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴

BF

AD

=

BE

BE+AB

，∴

x

a

=

BE

BE+b

，
∴BE=

bx

a-x

，（7分）
在△EFC中，FC边上的高h₁=BEsinα，
∴h1=

bxsinα

a-x

，
∴S△EFC=

1

2

FC•h1=

1

2

(a-x)•

bxsinα

a-x

=

1

2

bxsinα，（9分）
又在△ABF中，BF边上的高h₂=bsinα，
∴S_△ABF=

1

2

bxsinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；（11分）
法二：∵ABCD为平行四边形，
∴S_△ABC=S_△CDE=

1

2

absinα，
又∵S_△AFC=S_△CDF，
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，
即S_△ABF=S_△EFC．（11分）

点评：此题考查了平行四边形的基本性质和三角形全等的判定，难易程度适中．