Question

如图，一次函数y=ax+b（b≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，tan∠AOC=，且S_△AOD=1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）过A作AE垂直于x轴，与x轴交于E点，在直角三角形AOE中，由tan∠AOC的值，根据锐角三角函数定义设AE=m，则有OE=2m，由OA的长，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出A的坐标，代入反比例解析式中，求出k的值，得到反比例解析式，由三角形AOD的面积等于OD与OE乘积的一半，根据已知的面积与OE的长，求出OD的长，确定出D的坐标，将A和D的坐标代入一次函数解析式中，求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）将一次函数与反比例函数解析式联立求出交点B的坐标，令一次函数中y=0，求出对应x的值，确定出C的坐标，三角形AOB的面积=三角形BOC的面积+三角形AOC的面积，求出即可．
解答：解：（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，
在Rt△AOE中，OA=，tan∠AOC=，
设AE=m，则OE=2m，
根据勾股定理得：OA²=OE²+AE²，即m²+4m²=5，
解得：m=1或m=-1（舍去），
∴AE=1，OE=2，即A（2，-1），
将x=2，y=-1代入反比例解析式得：-1=，
解得：k=-2，
∴反比例解析式为y=-；
∵S_△AOD=OD•OE=1，OE=2，
∴OD=1，即D（0，1），
将A和D坐标代入y=ax+b中得：
，
解得：，
则一次函数解析式为y=-x+1；

（2）对于一次函数y=-x+1，
令y=0，求得x=1，故C（1，0），即OC=1，
将一次函数与反比例函数联立得：
，
解得：或，
∴B（-1，2），
则S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=×1×2+×1×1=．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，坐标与图形性质，利用了待定系数法，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．