Question

1．已知：直线AB与CD相交于点O．
（Ⅰ）如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=135°．
（Ⅱ）如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小；
（Ⅲ）如图3，若∠AOM=α，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可；
（3）与（2）的解法相同．

解答 解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOM=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°，
∵∠BOM=$\frac{3}{2}$x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=$\frac{3}{2}$x°=$\frac{3}{2}$×36°=54°，
即∠MON的度数为54°；
（3）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°，
∵∠BOM=$\frac{3}{2}$x+x=180°-α，
∴x=$\frac{360°-2α}{5}$，
∴∠MON=$\frac{3}{2}$×$\frac{360°-2α}{5}$=$\frac{540°-3α}{5}$．

点评 本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）（3）难点在于根据∠BOM列出方程．