Question

在□ABCD有任意一点O，点O到点A的距离OA=1，到点B的距离OB=2，到点C的距离OC=3，求正方形的边长．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性质

专题：计算题

分析：先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BOA绕点B顺时针旋转90°得到△BPC，如图，连接OP，作CH⊥BP于H，根据旋转的性质得∠OBP=90°，BP=OB=2，PC=OA=1，于是可判断△BOP为等腰直角三角形，则OP=

2

OB=2

2

，∠BPO=45°，在△OPC中利用勾股定理的逆定理得到∠OPC=90°，易得∠CPH=45°，在Rt△PCH中，根据等腰直角三角形的性质得PH=CH=

2

2

PC=

2

2

，然后在Rt△BCH中根据勾股定理计算BC．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BOA绕点B顺时针旋转90°得到△BPC，如图，连接OP，作CH⊥BP于H，
∴∠OBP=90°，BP=OB=2，PC=OA=1，
∴△BOP为等腰直角三角形，
∴OP=

2

OB=2

2

，∠BPO=45°，
在△OPC中，∵OP=2

2

，OC=3，PC=1，
∴PC²+OP²=OC²，
∴△OPC为直角三角形，
∴∠OPC=90°，
∴∠BPC=∠BPO+∠OPC=135°，
∴∠CPH=180°-∠BPC=45°，
在Rt△PCH中，PH=CH=

2

2

PC=

2

2

，
∴BH=BP+PH=2+

2

2

，
在Rt△BCH中，
BC=

CH2+BH2

=

( 2 2 )2+(2+ 2 2 )2

=

5+2 2

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理、勾股定理的逆定理．