Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，EF=12cm．
如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t=

 

时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
（2）当t为何值时，PQ∥DF？
（3）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）利用平行线的性质得出AQ=AM+MQ，进而得出t的值；
（3）利用S_{四边形APEC}=S_△ABC-S_△PBE，进而求出即可．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，
∴AB=12cm，AC=6

3

cm，
依题意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=6

3

-t，
∵BP=2t，
∴AP=12-2t．
当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP=AQ，
∴12-2t=6

3

-t，
解得t=12-6

3

，
即当t=12-6

3

时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
故答案为：12-6

3

；

（2）∵PQ∥DF，
∴PQ⊥DE，∠AQP=45°．
过点P作PM⊥AQ，垂足为M（如图1）．
∵在Rt△APM中，∠A=30°，AP=12-2t，
∴PM=6-t=QM，AM=（6-t）•

3

=6

3

-

3

t．
∵AQ=AC-QC=6

3

-t．
故6

3

-

3

t+6-t=6

3

-t．
解之得t=2

3

．

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为N（如图2），
∵在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，
∴PN=

3

t．
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=18

3

∴S_{四边形APEC}=S_△ABC-S_△PBE
=18

3

-

1

2

(6-t)•

3

t
=

3

2

t²-3

3

t+18

3

．
即y=

3

2

t²-3

3

t+18

3

．
故t的取值范围是：0＜t＜6．

点评：此题主要考查了几何变换以及线段垂直平分线的性质等知识，利用已知表示出各线段长度是解题关键．