Question

如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别于A、B两点，点D在y轴上，且DB=DA，延长AD到C，使DC=DA，双曲线y=过点C．

（1）求k的值．
（2）如图，直线y=-x交双曲线y=（x＜0）于G，Q为双曲线的图象上另一点，连OQ，GN⊥OQ于N，GM⊥x轴于M，若四边形OMGN的面积为4，求线段MN的长．

Answer 1

解：（1）如图1，过C作CH⊥x轴于H．
∵直线y=-2x+4与x轴、y轴分别于A、B两点，
∴当y=0时，x=2，即A（2，0）．
当x=0时，y=4，即B（0，4）．
∴0A=2，OB=4．
设OD=x，则AD=BD=4-x，
在Rt△A0D中，由勾股定理得2²+x²=（4-x）²，
∴，
∵DC=OA，易证△AOD≌△CHD
∴CH=OA=2，DH=OD=
∴C（-2，3），
∵点C在双曲线y=上，
∴k=3×（-2）=-6；

（2）如图2，过M作ME⊥OQ于点E，MF⊥NG，交NG延长线于点F．
∵直线y=-x交双曲线（x＜0）于G，
∴GM=OM=，
∵∠MOE+∠MGN=∠MGF+∠MGN=180°
∴∠MOE=∠MGF，
∴在△MOE与△MGF中，

∴△MOE≌△MGF（AAS），
∴MF=ME，易得四边形MFNE是正方形，由△MOE≌△MGF可得四边形OMGN的面积等于正方形MFNE的面积，
∴FM=FN=2，
在Rt△MFN中，由勾股定理得MN=．
分析：（1）根据一次函数解析式求得点A、B的坐标，即0A=2，OB=4．在Rt△A0D中，由勾股定理就可以求得OD=；然后通过全等三角形（△AOD≌△CHD）对应边相等推知CH=OA=2，DH=OD=，则C（-2，3），所以利用待定系数法求得k的值即可；
（2）如图2，过M作ME⊥OQ于点E，MF⊥NG，交NG延长线于点F，构建全等三角形：△MOE≌△MGF．则由全等三角形的对应边相等推知MF=ME，由Rt△MOE≌Rt△MGF可得四边形OMGN的面积等于正方形MFNE的面积，所以FM=FN=2，在Rt△MFN中，由勾股定理得MN=．
点评：本题综合考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意勾股定理适用于直角三角形中．