Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，过D作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=6，BF=4．①求⊙O的半径；②求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

（1）
连接AD，OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD过O，
∴EF是⊙O的切线．

（2）①解：设⊙O的半径是R，
则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，
∵OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴=，
∴=，
即R²-R-12=0，
∵R为半径，
∴R=4，R=-3（舍去），
即⊙O的半径是4．

②证明：∵OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵FO=4+4=8，OD=4，
∴∠F=30°，
∴∠FOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC是等边三角形．
分析：（1）根据圆周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可．
（2）①推出△FOD∽△FAE，得出比例式，即可求出半径．
②求出∠F=30°，求出∠BOD=60°，得出等边三角形OBD，推出∠ABC=60°，根据等边三角形判定推出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线性质，等腰三角形性质的应用，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．