Question

如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）请你添加一个条件：

 

，使四边形BFDE是菱形，并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；
（2）连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

解答：证明：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，

AD=BC ∠A=∠C AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）添加AD⊥BD．
理由如下：连接EF，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF平行且等于AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．