Question

【题目】（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　 　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；

（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．

（3）灵活应用：如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD，该逆命题为真命题，见解析；（3）见解析

【解析】

(1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；

（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；

（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．

（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：

则EF∥AB∥CD，

∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，

∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，

即∠B+∠D＝∠BED；

故答案为：＝；

（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；

该逆命题为真命题；理由如下：

过E作EF∥AB，如图①所示：

则∠B＝∠BEF，

∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，

∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，

∴∠D＝∠DEF，

∴EF∥CD，

∵EF∥AB，

∴AB∥CD；

（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：

则NG∥AB∥CD，

∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，

∵∠AMN是△ACM的一个外角，

∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，

又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，

∵CN平分∠ACD，

∴∠ACM＝∠NCD，

∴∠CAM＝∠BAN．