Question

平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于

180°

n

．

Answer 1

分析：题目中的n个点中不妨设这两个点为A₁、A₂，则可以分当∠A₂A₁An≥180°-

2×180°

n

和当∠A₂A₁A_n＜180°-

2×180°

n

两种情况进行讨论．根据三角形的内角和定理就可以证出．

解答：解：如图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为A₁、A₂，其它各点按逆时针方向设为A₃、A₄、A_n．

（1）当∠A₂A₁A_n≥180°-

2×180°

n

时，连接A₂A_n．
在△A₁A₂A_n中，∠A₂A₁A_n+∠A₁A_nA₂=180-∠A₂A₁A_n≤

2×180°

n

则∠A₂A₁A_n、∠A₁A_nA₂中必有一个角不大于

180°

n

；

（2）当∠A₂A₁A_n＜180°-

2×180°

n

时，∠A₂A₁A₃+∠A₃A₁A₄+∠A₄A₁A₅+…+∠A_n-1A₁A_n＜180°-

2×180°

n

，
则在这n-2个角中，必有一个角不大于

180°

n

设∠A_iA₁A_i-1≤

180°

n

，则△A_iA₁A_i-1即为所求三角形．

点评：本题的难度较大，分情况讨论是解题的关键．