Question

11．如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA=OC，AB=CD，你能说明∠A=∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？

Answer 1

分析 利用等式的性质先判定出OB=OD进而得出△AOD≌△COB，再判断出△ABD≌△CDB，（SSS），得出△EBD是等腰三角形，最后判断出△EOD≌△EOB即可．

解答 解：∠A=∠C，点O在∠AEC的平分线上．
理由：如图，

∵OA=OC，
∵AB=CD，
∴AB-OA=CD-OC，
∴OB=OD，
在△BOC和△DOA中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠BOC=∠DOA}\\{OC=OA}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△COB，（SAS），
∴∠A=∠C．
连结BD，
∵△AOD≌△COB，
∴BC=AD，
在△ABD和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{AB=CD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CDB，（SSS），
∴∠ADB=∠CBD，
∴△EBD是等腰三角形，
∴BE=ED，
∴180°-∠ADB=180°-∠CBD，
∴∠EDO=∠EBO，
连结EO，
同理：△EOD≌△EOB，（SSS），
∴∠DEO=∠BEO，
∴点O在∠AEC的平分线上．

点评 此题是三角形判定和性质，主要考查了等式的性质，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是△AOD≌△COB．