Question

16．已知：如图△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，当△BDE绕着点B转动，点F是CE的中点，求证：△ADF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 如图，延长AF到M，使得FM=AF，连接EM，DM．先证明△AFC≌△MFE，得出AC=EM=AB，再证明△ABD≌△MED，推出△ADM是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 证明：如图，延长AF到M，使得FM=AF，连接EM，DM．

∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，BD=DE，∠ABC=∠ACB=∠DBE=∠DEB=45°，
在△AFC和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FM}\\{∠AFC=∠EFM}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△MFE，
∴AC=EM=AB，∠MEF=∠ACE，
∵∠DEM=360°-∠DEB-∠MEF-∠BEC=360°-45°-（45°+∠2）-（180°-∠1-∠2）=90°+∠1=∠ABC+∠1+∠DBE=∠ABD，
在△ABD和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EM}\\{∠ABD=∠DEM}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MED，
∴AD=DM，∠BDA=∠MDE，
∴∠ADM=∠BDE=90°，∵AF=FM，
∴DF=AF=FM，DF⊥AM，
∴△ADF是等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键．