Question

8．已知O为坐标原点，抛物线y₁=ax²+bx+c（c＜0）与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）．与y轴交于点C，且OC=3，x₁•x₂＜0，|x₁|+|x₂|=4，点A，C在直线y₂=-3x+t上．
（1）求点C的坐标和t的值；
（2）当y₁随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围；
（3）若y₁＞y₂，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=0，则y=c，再根据OC=3，可求点C的坐标，把C（0，-3）代入y₂=-3x+t可求t的值；
（2）把A（x₁，0）代入，y₂=-3x-3，可求A（-1，0），进一步得到B（3，0），再待定系数法可求自变量x的取值范围；
（3）根据两个函数的交点坐标即可得到自变量x的取值范围．

解答 解：（1）令x=0，则y=c，
∴C（0，c），
∵OC=3，
∴|c|=3，即c=±3，
又∵c＜0，
∴c=-3，
∴C（0，-3），
把C（0，-3）代入y₂=-3x+t，则0+t=-3，即t=-3；
（2）∵t=-3，
∴y₂=-3x-3，
把A（x₁，0）代入，y₂=-3x-3，则-3x₁-3=0，即x₁=-1，
∴A（-1，0），
∵x₁x₂异号，x₁=-1＜0∴x₂＞0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1+x₂=4，x₂=3，则B（3，0），
代入${y_1}=a{x^2}+bx-3$得$\left\{\begin{array}{l}a-b-3=0\\ 9a+3b-3=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$，
${y_1}={x^2}-2x-3={（x-1）^2}-4$，
则当x≤1 时，y随x增大而减小．
∴当y随x增大而减小时，x≤1；
（3）若y₁＞y₂，自变量x的取值范围为x＜-1或x＞0．

点评 此题主要考查了二次函数与不等式（组），抛物线与x轴的交点，以及求两函数的交点坐标以及比较函数值的大小等知识，利用数形结合比较函数值的大小是这部分考查的重点．