Question

13．△ABC是等边三角形，点D是AC中点，连接BD，点E是BC延长线上一点，且CE=CD，连接DE．
（1）如图1，证明：DB=DE；
（2）过点A作AB的垂线交BC延长线于点F，延长BD和AF相交于点G，如图2，若四边形DCFG的面积为10．求△ADG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠CBD=30°，∠ACB=60°，根据CD=CE可得∠CDE=∠CED，根据∠CDE+∠CED=∠ACB即可解题．
（2）设△ADG的面积为x，首先证明△ABD的面积=△BDC的面积=3x，推出△DCE的面积为1.5x，△ACF的面积为6x，根据四边形CDGF的面积列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=30°，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠CBD=∠CED=30°，
∴BD=DE．

（2）解：设△ADG的面积为x，
∵△ABC是等边三角形，∠BAF=90°，BD⊥AC，
∴∠DAG=∠ABG=30°，
∴BG=2AG=4DG，
∴BD=3DG，
∴△ABD的面积=△BDC的面积=3x，
∵BC=2DC=2CE，
∴BC=2CE，
∴△EDC的面积为1.5x，
∵DE∥AF，
∴△CDE∽△CAF，
∵CD：CA=1：2，
∴△ACF的面积为6x，四边形CDGF的面积为5x，
由题意5x=10，
∴x=2，
∴△ADG的面积为2．

点评 本题考查了等边三角形各边相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求证∠CBD=∠CED是解题的关键，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．