Question

（2013•怀化）如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从A点、C点同时出发，均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和沿CB向B点运动．
（1）经过几秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在线段AC上，是否存在一点P，使2EP•AE=EF•AP？若存在，请说明P点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易证EF一定平分AC，当EF⊥AC时，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等即可求得AE的长，从而求得时间t的值；
（2）当EP⊥AD时，根据相似三角形的性质可以得到2EP•AE=EF•AP，根据△AEP∽△ADC，即可求得AP的长．

解答：解：（1）在直角△ACD中，AC=

AD2+CD2

=

122+162

=20cm．
设经过ts时EF⊥AC．
则AE=CF=2t，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
在△AME和△CMF中，

∠DAC=∠ACF ∠AME=∠CMF AE=CF

，
∴△AME≌△CMF（AAS）．
则AM=MC=

1

2

AC=

1

2

×20=10cm．
当EF⊥AC时，△AEM∽△ACD，
∴

AE

AC

=

AM

AD

，即

AE

20

=

10

16

，
解得：AE=

20×10

16

=

25

2

．
则t=

AE

2

=

25

4

（s）；


（2）存在．
∵△AME≌△CMF，

∴ME=MF=

1

2

EF，
当EP⊥AD时，△AME∽△AEP，

AE

AP

=

ME

EP

，即AE•EP=AP•ME=AP•

1

2

EF，
即2EP•AE=EF•AP．
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AP

AC

，即

25 2

16

=

AP

20

，
解得：AP=

125

8

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，正确理解当EP⊥AD时，2EP•AE=EF•AP成立，是关键．