Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B、C重合）．过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求AB的长； 
（2）求证：△APB∽△PEC；
（3）若CE=3，求BP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：常规题型

分析：（1）根据等腰梯形性质可解题；
（2）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可证得∠BAP=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△APB∽△PEC；
（3）首先过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，又由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）作AF⊥BC，

则BF=

1

2

（BC-AD）=2，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4．
（2）∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；
（3）过点A作AF∥CD交BC于点F，

∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴BP：EC=AB：PC，
设BP=x，则PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
经检验：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
∴BP的长为：3或4．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．