Question

在平面直角坐标系中，点P是抛物线C：y=ax²在第一象限内上的一点，连接 OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q，连接PQ，交y轴于点M．

（1）如图1，若PQ∥x轴，且PQ=2，求抛物线C的解析式；
（2）如图2，过点P作PA丄x轴于点A，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示点Q的横坐标为

 

；
②连接AM，求证：AM∥OQ；
（3）如图3，将抛物线C：y=ax²作关于x轴的轴对称变换，然后平移经过P，Q两点得到抛物线C′，设抛物线C′的顶点为R，判断四边形OPRQ的形状？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据二次函数的对称性可得OP=OQ，从而得到△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点P的坐标，然后代入抛物线解析式求出a，即可得解；
（2）根据点P的横坐标求出OA、PA，①过点Q作QB⊥x轴于B，设点Q的横坐标为x，表示出点Q的纵坐标，再根据△AOP和△BQO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
②设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出直线解析式，再求出点M的坐标，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△BOQ和△OAM相似，根据相似三角形对应角相等求出∠BOQ=∠OAM，再根据同位角相等，两直线平行证明即可；
（3）作出图形，然后根据四个角都是直角的四边形是矩形判断即可．

解答：解：（1）∵PQ∥x轴，抛物线y=ax²的对称轴为y轴，
∴OP=OQ，
∵OP⊥OQ，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∵PQ=2，
∴OM=MP=

1

2

×2=1，
∴点P的坐标为（1，1），
∴a=1，
∴抛物线C的解析式y=x²；

（2）如图2，∵点P的横坐标为m，
∴OA=m，PA=am²，
①过点Q作QB⊥x轴于B，设点Q的横坐标为x，则点Q的纵坐标为y=ax²，
由OP⊥OQ易求△AOP∽△BQO，
∴

OB

PA

=

BQ

OA

，
即

-x

am2

=

ax2

m

，
解得x=-

1

a2m

，
即，点Q的横坐标为-

1

a2m

，
故答案为：-

1

a2m

；

③设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

mk+b=am2 - k a2m +b= a a4m2

，
解得

k=am- 1 am b= 1 a

，
∴直线PQ的解析式为y=（am-

1

am

）x+

1

a

，
令x=0，则y=

1

a

，
∴点M（0，

1

a

），
∵

OA

OM

=

m

1 a

=am，

OB

BQ

=

1 a2m

a a4m2

=am，
∴

OA

OM

=

OB

BQ

，
又∵∠OBQ=∠AOM=90°，
∴△BOQ∽△OAM，
∴∠BOQ=∠OAM，
∴AM∥OQ；

（3）如图3，由翻折和平移的性质，∠R=∠POQ=90°，
∠OQR=∠OPR=∠OPQ+∠OQP=90°，
∴四边形OPRQ是矩形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象的轴对称性，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，（3）根据几何变换的性质作出图形更形象直观．