Question

7．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）当⊙O的半径为3，tanC=$\frac{2}{5}$时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）由（1）证得∠E=∠C，于是得到 tanE=tanC=$\frac{2}{5}$，在Rt△OBE中，OB=3，根据锐角三角函数的定义就看得到BE=$\frac{OB}{tanE}$=$\frac{3}{\frac{2}{5}}$=$\frac{15}{2}$．

解答 （1）证明：连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD，
∴∠E=∠C；

（2）由（1）证得∠E=∠C，
∴tanE=tanC=$\frac{2}{5}$，
在Rt△OBE中，OB=3，
∴BE=$\frac{OB}{tanE}$=$\frac{3}{\frac{2}{5}}$=$\frac{15}{2}$．

点评 此题考查了切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．