Question

4．等腰直角三角形ABC，∠C=90°，直线l过点C，过点A，B作l的垂线，垂足分别为E，F，点D为AB的中点，连接DF．
（1）如图1，求证：$\sqrt{2}$DF+CF=BF；
（2）如图2，直接写出DF，CF，BF的关系：$\sqrt{2}$DF=CF+BF．

Answer 1

分析 （1）连接CD、ED，可证明△AEC≌△CFB，进一步可证明△AED≌△CFD，可证明△DEF为等腰直角三角形，可得EF=$\sqrt{2}$DF，可证得结论；
（2）连接CD、ED，同（1）可证得EF=$\sqrt{2}$DF，结合线段的和差可得出结论．

解答 （1）证明：连接CD、ED，如图1，

∵AE⊥CE，BF⊥CE，AC⊥BC，
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=∠CBF+∠BCF，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CFB}\\{∠ACE=∠CBF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，∠CAE=∠BCF，
∴∠BCD+∠DCF=∠CAD+∠DAE，
∵CA=CB，∠ACB=90°，且D为AB的中点，
∴∠CAD=∠DCB=45°，CD=AD，
∴∠DCF=∠DAE，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAE=∠DFC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵D为AB中点，AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴∠CDF+∠ADF=90°=∠ADE+∠ADF，
∴∠EDF=90°，
∴EF=$\sqrt{2}$DF，
∵EF+CF=BF，
∴$\sqrt{2}$DF+CF=BF；
（2）解：连接CD、ED，如图2，

∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CFB}\\{∠ACE=∠CBF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE=BF，AE=CF，∠EAC=∠FCB，
∵CA=CB，D为AB中点，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠CAD=45°，
∴∠EAD=∠FCD，AD=CD，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴EF=$\sqrt{2}$DF，
∵EF=CE+CF=BF+CF，
∴$\sqrt{2}$DF=CF+BF．
故答案为：$\sqrt{2}$DF=CF+BF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，在复杂图形中构造三角形全等和灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键，即对SSS、SAS、ASA、AAS和HL的灵活运用．