Question

10．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥AD，若AD=2，CD=3，则对角线BD的长为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过C作CE⊥BD，分别交BD、AB于点E、F，可知E为BD中点，可求得CF、EF，可求得CE，在Rt△CDE中由勾股定理可求得DE，可求得BD．

解答 解：如图，过C作CE⊥BD，分别交BD、AB于点E，F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB，
∴E为BD中点，
∵AD⊥BD，
∴AD∥CF，
∴F为AB中点，
∴EF为△ABD的AD边上的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=1，
又∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CF=AD=2，
∴CE=CF-EF=2-1=1，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角形中位线定理，利用条件构造三角形中位线求得CE的长是解题的关键．注意勾股定理的应用．