Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）△AEC与△BDC是否全等，并说明理由．
（2）说明AD²+DB²=DE²成立的理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△AEC与△BDC全等；
（2）利用（1）的全等三角形的性质推知AE=BD，则根据勾股定理可以证得结论．

解答：（1）△AEC与△BDC全等．理由如下：
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；

（2）如图，∵由（1）知，△AEC≌△BDC．
∴∠EAC=∠DBC=45°，AE=BD，
∴∠EAD=90°，
∴AD²+AE²=ED²，即AD²+DB²=DE²成立．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．