Question

已知a、b是不全为零的实数，则关于x的方程x²+（a+b）x+a²+b²=0的根的情况为

1. A.
   有两个负根
2. B.
   有两个正根
3. C.
   有两个异号的实根
4. D.
   无实根

Answer 1

D
分析：先计算△=（a+b）²-4（a²+b²）=-3a²+2ba-3b²，由于a、b是不全为零的实数，讨论当b=0或b≠0时得到△=（a+b）²-4（a²+b²）=-3a²+2ba-3b²都小于0，由此判断原方程根的情况．对于b≠0时，要利用二次函数的图象与横轴的交点情况进行判断．
解答：△=（a+b）²-4（a²+b²）=-3a²+2ba-3b²，
由于a、b是不全为零的实数，
∴当b=0，则a≠0，∴△=-3a²＜0，原方程无实根；
当b≠0，把△看作a的二次函数，开口向下，△′=4b²-4×（-3）×（-3b²）=-32b²＜0，则△总是小于0，原方程无实根；
所以原方程没有实数根．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况与二次函数与横轴的交点个数的关系．