Question

如图，等边△ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE=EB。设。

（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2） Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时,求 □EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；
（3） 当（2）中 的□EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时□EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围。

Answer 1

（1）BE、ＰE（答案不唯一）；
（2）在Ｒt△CHE中，∠CHE=90°　∠C=60°， 
       ∴EH=     ∵PQ=EF=BE=4-x      ∴；
（3）
        ∴当x=2时，有最大值．
        此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，
         且点C、 点Q重合 ∴平行四边形EFPQ是菱形．过E点作ED⊥FＰ于D，
         ∴ED=EH=． 
         ∴当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜；
            当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是4个时，r=；
             当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是6个时，＜r＜2；
              当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是3个时，r=2时；
             当⊙E与□EFPQ四条边交点的总个数是0个时，r＞2时．