Question

18．如图，AB是⊙O的直径，C，D是$\widehat{AB}$上两点，AB=5．
（1）如图（1），若点C，D是$\widehat{AD}$的三等分点，求BC的长；
（2）如图（2），若点C是$\widehat{AD}$的中点，BD=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，由已知条件得到∠ABC=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OC，由点C是$\widehat{AD}$的中点，得到OC⊥AD，AH=DH，根据圆周角定理得到∠D=∠ACB=90°，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AC，
∵点C，D是$\widehat{AD}$的三等分点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠ABC=30°，
∵AB=5，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$；

（2）连接OC，
∵点C是$\widehat{AD}$的中点，
∴OC⊥AD，AH=DH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴AH=2，
∵OH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，
∴CH=2.5，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{59}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．