Question

3．如图，在正方形ABCD中，M是AD上异于D的点，N是CD的中点，且∠AMB=∠NMB，则AM=2，求AB的长．

Answer 1

分析 根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切，进一步求得答案即可．

解答 解：如图：

延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴$\frac{AM}{OB}$=$\frac{MB}{BT}$，即$\frac{AM}{MB}$=$\frac{OB}{BT}$，即MB²=2AM•BT ①
令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2-K，BM=$\sqrt{4+（2-K）^{2}}$，BT=2+K，
代入①中得：4+（2-K）²=2（2-K）（2+K），
解方程得：K₁=0（舍去），K₂=$\frac{4}{3}$．
∴AM=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$．
tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵AM=2，
∴AB=6．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建等腰三角形是本题的关键．