Question

13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=20°时，四边形BFDE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；
（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=$\frac{1}{2}$×40°=20°．

解答 （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，
∴∠BAE=∠BCF，
在△BAE与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAE=∠BCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，
∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，
∵△BAE≌△BCF，
∴∠EBA=∠FBC，
又∵∠ABC=50°，
∴∠EBA+∠FBC=40°，
∴∠EBA=$\frac{1}{2}$×40°=20°．
故答案为：20．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．