Question

6．如图，菱形ABCD的边长为4，∠C=60°，E为CD的中点，作∠AEG=60°，交BC于点F，交AB的延长线于点G，则线段BG的长为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 连结BD交AE于H，利用菱形的性质，得到△ABH∽△DEH，得到DH=$\frac{1}{3}$BD，根据∠C=60°，CD=BC，得出△BCD为等边三角形，求出DH=$\frac{4}{3}$，再证明△DEH∽△CFE，求出CF=6，BF=8-6=2，由AB∥CD，△BGF∽△CFE，得到$\frac{BG}{BF}$=$\frac{EC}{CF}$，即可得出BG的长．

解答 解：如图，连BD交AE于H，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△DEH，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{DE}{AB}$，即$\frac{DH}{BH}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BH，
∴DH=$\frac{1}{3}$BD，
∵∠C=60°，CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=CD=BC=4，∠BDC=∠C=60°，
∴DH=$\frac{4}{3}$，
∵∠DEH+∠AEG+∠FEC=180°，
∠CFE+∠C+∠FEC=180°，∠AEG=∠C=60°，
∴∠DEH=∠CFE，
∴△DEH∽△CFE，
∴$\frac{DH}{DE}$=$\frac{EC}{CF}$，即$\frac{\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{2}{CF}$，
∴CF=3，
即BF=4-3=1，
∵AB∥CD，
∴△BGF∽△CFE，
∴$\frac{BG}{BF}$=$\frac{EC}{CF}$，
即$\frac{BG}{1}$=$\frac{2}{3}$，
∴BG=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的性质定理和判定定理，解决本题的关键是证明三角形相似．