解：（1）∵顶点B的坐标为
，AB=10，
∴sin∠BAO=
=
，
∴∠BAO=60度．
（2）点P的运动速度为2个单位/秒．
（3）过P作PM⊥x轴，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，又OA=10，
∴OM=（10-t），即为三角形OPQ中OQ边上的高，
而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，
∴P（10-t，
t）（0≤t≤5），
∵S=
OQ•OM=
（2t+2）（10-t），
=-（t-
）
2+
．
∴当t=
时，S有最大值为
，此时P（
，
）．
（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．
①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：OM=
=11.5，
所以OQ＞OM，从而∠OPQ＞90度．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90°的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+
=17.8，
而构成直角时交y轴于（0，
），
=20.2＞17.8，
所以∠OCQ＜90°，从而∠OPQ=90°的点P也有1个．
所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．
分析：（1）已知了AB的长和B点的坐标，那么sin∠BAO=
=
，因此∠BAO=60°
（2）由函数的图形可知：当t=5时，三角形OPQ的面积是30，如果设点P的速度为a，那么AP=5a，那么P到AC的距离就是
a，也就是P到OQ的距离为10-
a．OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-
）×
=30，解得a=1.6，a=2．由于抛物线的解析式为S=（at+2）（10-
）×
，经化简后可得出对称轴应该是t=
，当a=1.6时，对称轴t=5.625显然大于5，与给出的抛物线的图形不相符，因此a=2是本题的唯一的解．也就是说P的速度是2单位/秒．
（3）根据（2）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的t的取值，然后根据P，Q的速度和t的取值，可求出P点的坐标．
（4）本题其实主要是看P在B点和C点时∠OPQ的度数范围，当∠OBQ的度数大于90°，∠OCQ的度数小于90°时，那么在AB，BC上分别有一个符合要求的点P，如果∠OBQ的度数小于90°时那么就没有符合要求的点，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的点只有一个．当P，B重合时，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，然后比较OM和OQ的长即可得出∠OPQ的大致范围，根据相似三角形OPH和OPM不难得出OM的长，然后比较OM，OQ的大小，如果OQ＞OM则说明∠OPQ＞90°，反之则小于90°，用同样的方法可得出当P与C重合时∠OPQ的大致取值范围，然后根据上面的分析即可判定出有几个符合要求的点．
点评：本题结合三角形的相关知识考查二次函数的综合应用，要特别注意（2）中舍去速度为1.6的原因．
的点P有几个？请说明理由．
阳光试卷单元测试卷系列答案
（2012•和平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AM为∠BAC的平分线，CM=2BM．下列结论：
（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为
的外接圆．
（2013•嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC2=CD•CA．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=9cm，则AB的长为（ ）