Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BA=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1)求证：点A与C关于直线BD对称.

(2)若∠ADC=90°，求证四边形MPND为正方形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根据SAS证明两个三角形全等，进而得到∠ADB=∠CDB，AD=CD，根据等腰三角形的性质可得BD垂直平分AC，进而可得点A与C关于直线BD对称；

（2）首先证明四边形PMDN是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN，进而可得四边形MPND为正方形．

证明：(1)连接AC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中

，

∴△ABD≌△CBD(SAS)，

∴∠ADB=∠CDB，DA=DC，

∴BD垂直平分AC，

∴点A与C关于直线BD对称；

(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90°，

∵∠ADC=90°，

∴四边形PMDN是矩形，

∵∠ADB=∠CDB，

∴BD平分∠ADC，

∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN，

∴四边形MPND为正方形