Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．给出以下五个结论：
（1）AE=CF；（2）∠APE=∠CPF；（3）三角形EPF是等腰直角三角形；（4）S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；（5）EF=AP，
其中正确的有

4

个．

Answer 1

分析：（1）通过证明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，
（2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出结论；
（3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出结论；
（4）由S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出结论，
（5）由条件知AP=

1

2

BC，当EF是△ABC的中位线时才有EF=AP，其他情况EF≠AP．

解答：解：（1）∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．故（1）正确．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=AP=

1

2

BC．∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中

∠APE=∠CPF AP=CP ∠BAP=∠C

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，S_△AEP=S_△CFP，故（2）正确．
∴△EPF是等腰直角三角形．故（3）正确．
∵S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=

1

2

S_△ABC．故（4）正确．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=

1

2

BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故（5）错误；
∴正确的共有4个．
故答案为4．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．