Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²-

7

2

x+

9

2

与直线y=

1

2

x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，当线段PC最大时，求此时点C的坐标及PC的最大值；
（3）当∠PAB=90°时，求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出抛物线y=-x²-

7

2

x+

9

2

与x轴交点A的坐标，再将A点坐标代入y=

1

2

x+b，利用待定系数法求出直线的解析式为y=

1

2

x-

1

2

，与抛物线的解析式联立，解方程组

y= 1 2 x- 1 2 y=-x2- 7 2 x+ 9 2

，即可求得B点的坐标；
（2）设P（a，-a²-

7

2

a+

9

2

），则-5＜a＜1，C（a，

1

2

a-

1

2

），由PC=（-a²-

7

2

a+

9

2

）-（

1

2

a-

1

2

）=-a²-4a+5=-（a+2）²+9，根据二次函数的性质即可求解；
（3）过A作y轴的平行线l，再过P、B作l的垂线，垂足分别为M、N．根据两角对应相等的两三角形相似得出△APM∽△BAN，由相似三角形对应边成比例得出

PM

AN

=

AM

BN

，由此列出方程

1-a

3

=

-a2- 7 2 a+ 9 2

6

，解方程求出a的值，进而求得此时点P的坐标．

解答：解：（1）∵y=-x²-

7

2

x+

9

2

，
∴当y=0时，-x²-

7

2

x+

9

2

=0，
解得x₁=-

9

2

，x₂=1，
∴A点的坐标为（1，0）．
将A（1，0）代入y=

1

2

x+b，
得0=

1

2

×1+b，
解得b=-

1

2

，
∴直线的解析式为y=

1

2

x-

1

2

．
由

y= 1 2 x- 1 2 y=-x2- 7 2 x+ 9 2

，解得

x1=1 y1=0

，

x2=-5 y2=-3

，
∴B点的坐标为（-5，-3）；

（2）设P（a，-a²-

7

2

a+

9

2

），则-5＜a＜1，可知C（a，

1

2

a-

1

2

），
∵PC=（-a²-

7

2

a+

9

2

）-（

1

2

a-

1

2

）=-a²-4a+5=-（a+2）²+9，
∴当a=-2时，线段PC最大，此时点C的坐标为（-2，-

3

2

），PC的最大值为9；

（3）过A作y轴的平行线l，再过P、B作l的垂线，垂足分别为M、N．
∵∠PAB=90°，
∴∠PAM+∠BAN=90°，
∵∠PAM+∠APM=90°，
∴∠APM=∠BAN．
在△APM与△BAN中，

∠APM=∠BAN ∠AMP=∠BNA=90°

，
∴△APM∽△BAN，
∴

PM

AN

=

AM

BN

，即

1-a

3

=

-a2- 7 2 a+ 9 2

6

，
解得a₁=-

5

2

，a₂=1（不合题意舍去），
∴此时点P的坐标为（-

5

2

，7）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求直线的解析式，两函数交点坐标的求法，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．