Question

如图1和图2，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．
（1）图1中，①证明：△ACE∽△CBD； ②若AE=a，BD=b，计算△ACB的面积．
（2）图2中，若AE=a，BD=b，（b＞a）计算梯形ADBE的面积．

Answer 1

（1）①证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°，
∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°，在△ACE中，
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△ACE∽△CBD；
②解：∵△ACE∽△CBD；
AC=BC，
∴△ACE≌△CBD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∵ED为梯形AEDB的高，
∴△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积，
=×DE-AE×EC-BD×DC，
=×（a+b）-ab-ab，
=（a²+b²），

（2）解：∵△ACE≌△CBD（已证），
∴CD=AE，CE=BD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∴DE=CE-CD=b-a，
∴梯形ADBE面积=×DE，
=×（b-a），
=．
分析：（1）①根据∠ACB=90°得出∠ACE+∠BCD=90°，以及∠ACE+∠CAE=90°，即可得出∠CAE=∠BCD，进而得出△ACE∽△CBD；
②利用△ACE∽△CBD，AC=BC，得出△ACE≌△CBD，再利用△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积，求出即可；
（2）根据三角形的判定得出△ACE≌△CBD，进而得出DE=CE-CD=b-a，即可求出梯形ADBE的面积．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和梯形面积求法等知识，相似三角形以及全等三角形的应用经常与梯形知识综合考查，同学们应熟练掌握．