【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点左侧,B点的坐标为(4,0),与y轴交于C(0,﹣4)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】(1)二次函数的表达式为:y=x2﹣3x﹣4;
(2)存在,P点的坐标为(,﹣2);
(3)此时P点的坐标为:(2,﹣6),四边形ABPC的面积的最大值为18.
【解析】
试题分析:(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;
(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;
(3)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.
试题解析:(1)将B、C两点的坐标代入得:
,
解得:;
所以二次函数的表达式为:y=x2﹣3x﹣4;
(2)存在点P,使四边形POP′C为菱形;
设P点坐标为(x,x2﹣3x﹣4),PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;
如图1,连接PP′,则PE⊥CO于E,
∵C(0,﹣4),
∴CO=4,
又∵OE=EC,
∴OE=EC=2
∴y=﹣2;
∴x2﹣3x﹣4=﹣2
解得:x1=,x2=(不合题意,舍去),
∴P点的坐标为(,﹣2);
(3)如图2,过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣3x﹣4),设直线BC的解析式为:y=kx+d,
则,
解得:,
∴直线BC的解析式为:y=x﹣4,
则Q点的坐标为(x,x﹣4);
当0=x2﹣3x﹣4,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴AO=1,AB=5,
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=ABOC+QPBF+QPOF
=×5×4+(4﹣x)[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]+ x[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]
=﹣2x2+8x+10
=﹣2(x﹣2)2+18
当x=2时,四边形ABPC的面积最大,
此时P点的坐标为:(2,﹣6),四边形ABPC的面积的最大值为18.
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【题目】已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系式 ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
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【题目】在数轴上,点A表示﹣3,从点A出发,沿数轴移动5个单位长度到达点B,则点B所表示的数为( )
A. 2 B. ﹣8 C. 2或﹣8 D. 以上均不对
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【题目】如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)求证:AB=AC;
(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】投掷一枚均匀的硬币,落地时正面或反面向上的可能性相同.有甲、乙、丙三人做“投硬币”实验,他们分别投100次,结果正面向上的次数为:甲60次、乙40次、丙50次.则下列说法正确的是( )
A.甲第101次投出正面向上的概率最大
B.乙第101次投出正面向上的概率最大
C.只有丙第101次投出正面向上的概率为0.5
D.甲、乙、丙三人第101次投出正面向上的概率相等
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