【题目】如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)求证:AB=AC;
(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)①5或6;②9或10或.
【解析】试题分析:(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,由勾股定理得:AC=5x,AB=5x,AB=AC,从而得到△ABC是等腰三角形;
(2)=40cm2,得到x=2cm,从而得到BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.分两种情况讨论:
①当MN∥BC时,AM=AN;当DN∥BC时,AD=AN,分别求出t的值;
②当点M在BD上,即0≤t<4时,△MDE为钝角三角形,但DM≠DE;
当t=4时,点M运动到点D,不构成三角形;
当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能.DE=DM;ED=EM;MD=ME,分别求出t的值.
试题解析:(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,(x>0)在Rt△ACD中,AC=5x,另AB=5x,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;
(2)=×5x×4x=40cm2,而x>0,∴x=2cm,则BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.
①当MN∥BC时,AM=AN,即10-t=t,∴t=5;
当DN∥BC时,AD=AN,有 t=6;
故若△DMN的边与BC平行时,t值为5或6;
②当点M在BD上,即0≤t<4时,△MDE为钝角三角形,但DM≠DE;
当t=4时,点M运动到点D,不构成三角形;
当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能.
如果DE=DM,则t-4=5,∴t=9;
如果ED=EM,则点M运动到点A,∴t=10;
如果MD=ME=t-4,则,∴t=.
综上所述,符合要求的t值为9或10或.
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【题目】某手机专卖店销售A,B两种型号的手机,如表是近两周的销售情况:
销售时段 | 销售数量 | 销售利润 | |
A型 | B型 | ||
第一周 | 3台 | 5台 | 1800元 |
第二周 | 4台 | 10台 | 3000元 |
(1)求每台A型手机和B型手机的销售利润;
(2)该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台,其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍.设购进A型号手机x台,这100台手机的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数表达式;
②该商店购进A型号和B型号手机各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型号手机的出厂价提高a(0<a<100)元,对B型号手机的出厂价下降a(0<a<100)元,且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台.若该手机专卖店保持两种手机的售价不变,请根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案.
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【题目】如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿A→C→B运动,到达B点即停止运动,PD⊥AB交AB于点D.设运动时间为x(s),△ADP的面积为y(cm2),则y与x的函数图象正确的是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,请按照要求回答问题:
(1) 数轴上的点C表示的数是 线段AB的中点D表示的数是 ﹣2 ;
(2)线段AB的中点D与线段BC的中点E的距离DE等于多少?
(3)在数轴上方有一点M,下方有一点N,且∠ABM=120°,∠CBN=60°,请画出示意图,判断BC能否平分∠MBN,并说明理由.
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【题目】如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D,且过点D的⊙O的切线DE平分BC边,交BC于点E.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)当∠A= 时,以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形;
(3)以点O、B、E、D为顶点的四边形 (可能、不可能)为菱形.
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【题目】如图所示,是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.
(1)完成下表的填空:
正方形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
火柴棒根数 | 4 | 7 | 10 | 13 |
(2)某同学用若干根火柴棒按如上图列的方式摆图案,摆完了第1个后,摆第2个,接着摆第3个,第4个,…,当他摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒,要刚好摆完第n+1个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案?
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