Question

探究：如图①，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF=BG．
应用：如图②，将正方形ABCD翻折，使点B落在边CD上的点B′处，折痕为EF．若AE=2，BF=6，则B′C=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：探究：过点E作EM⊥BC于M，可得四边形ABME是矩形，根据矩形的对边相等可得AB=EM，再根据正方形的四条边都相等可得AB=BC，从而得到EM=BC，再根据等角的余角相等求出∠CBG=∠MEF，然后利用“角边角”证明△BCG和△EMF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
应用：连接BB′过点E作EM⊥BC于M，根据折叠的性质可得EF⊥BB′，先求出MF，再根据探究结论B′C=MF．

解答：探究：证明：如图，过点E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，
∴AB=EM，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴EM=BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM=90°，
∵BG⊥EF，
∴∠CBG+∠EMF=90°，
∴∠CBG=∠MEF，
在△BCG和△EMF中，

∠CBG=∠MEF EM=BC ∠C=∠EMF=90°

，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF=BG；

应用：解：如图，连接BB′过点E作EM⊥BC于M，
∵点B沿EF折叠后落在边CD上的点B′处，
∴EF⊥BB′，
∵AE=2，BF=6，
∴MF=BF-BM=BF-AE=6-2=4，
根据探究，△BCG≌△EMF，
∴B′C=MF=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的应用，折叠的性质，等角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．