Question

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AC=6，O是AB边上的一动点，以O为圆心，OA为半径画圆．
（1）设OA=x，则x为多少时，⊙O与BC相切，
（2）当⊙O与直线BC相离或相交时，分别写出x的取值范围．
（3）当点O在何处时，△ABC为⊙O的内接三角形．

Answer 1

分析：（1）设切点为D，连接OD，则OD⊥BC，所以△OBD∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求出OA长度；
（2）根据OD的长，小于OD相离，大于OD相交；
（3）因为∠C=90°，当AB是直径即O在AB的中点时，△ABC为⊙O的内接三角形．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC=6，
∴AB=12（1分）
若⊙O与BC相切于点D，连接OD
则OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°
又∵∠B=∠B，
∴△OBD∽△ABC
∴

OD

AC

=

BO

BA

，（2分）
设⊙O的半径为r，则

r

6

=

12-r

12

（3分）
∴r=4
∴当x=4时，⊙O与BC相切．（4分）

（2）当⊙O与直线BC相离时，0＜x＜4（5分）
当⊙O与直线BC相交时，4＜x≤12（6分）

（3）当点O在AB中点时，OA=OB=OC=6
△ABC为⊙O的内接三角形．（8分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，关键在于直线与圆心的距离和半径的大小来判定．