Question

点E为正方形ABCD的对角线上一点，连接DE，BE并延长交AD于点F，DE⊥EG交BC于G，下列结论：
①△BEC≌△DEC；②∠BED=120°时，EF平分∠AED；③EG=ED；④BG=AE；⑤当点G为BC的中点时，DF=2AF．
其中正确的有：________．

Answer 1

①②③④⑤
分析：根据正方形的性质得CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，然后利用“边角边”证明△BEC和△DEC全等，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEC，当∠BED=120°时，则∠DEC=60°，∠DEF=180°-120°=60°，再求出∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，从而得到∠DEF=∠AEF，根据角平分线的定义可得EF平分∠AED，判断②正确；过E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，四边形EMCP、四边形AQEN都为正方形，根据同角的余角相等可得∠DEP=∠GEM，然后利用“角边角”证明△DEP和△GEM全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=ED，判断③正确；由①可得ED=EB，则EB=EG，再利用等腰三角形三线合一的性质可得BM=GM，则BM=AN，然后根据正方形的边长与对角线的关系求出BG=AE，判断④正确；设正方形AQEN的边长为x，表示出AB的长，然后根据△ABF和△NEF相似，利用相似三角形对应边成比例列比例式求出AF，再求出DF，从而判断⑤正确．
解答：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中DCE，
∵，
∴△BEC≌△DEC（SAS），故①正确；
∴∠BEC=∠DEC，
当∠BED=120°时，∠DEC=×120°=60°，
∠DEF=180°-∠BED=180°-120°=60°，
所以，∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，
所以，∠AEF=∠DEF，
即EF平分∠AED，故②正确；
如图，过E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，
则四边形EMCP、四边形AQEN都为正方形，
∵EG⊥DE，
∴∠DEP+∠PCG=90°，
又∵∠GEN+∠PCG=90°，
∴∠DEP=∠GEM，
在△DEP和△GEM中，
∵，
∴△DEP≌△GEM（ASA），
∴EG=ED，故③正确；
∵△BEC≌△DEC，
∴ED=EB，
∴EB=EG，
∵EM⊥BG，
∴BG=2BM，
∵BM=AN，
又∵AN=AE，
∴BG=2×AE=AE，故④正确；
当点G为BC的中点时，设正方形AQEN的边长为x，
则BG=2BM=2x，BC=2BG=4x，
∴AB=BC=4x，
由MN∥AB得，△ABF∽△NEF，
∴=，
即=，
解得AF=x，
所以，DF=4x-x=x，
∴DF=2AF，故⑤正确，
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．